Formules, differentiaalvergelijkingen, toepassingen, deel 2

Vossen en konijnenHet tweede artikel over de toepassingen van differentiaalvergelijkingen introduceert een nieuw soort oplossingsmethode: de numerieke oplossingen. Deze zijn tegenwoordige belangrijker dan die gebruikt bij de beschrijving van de trillende veer, wat heet een "analytische oplossing".

De numerieke oplossingsmethode maakt het mogelijk ook ingewikkeldere differentiaalvergelijkingen op te lossen, horende bij situaties in de natuur ingewikkelder dan het simpele geval van zwaartekracht versus veerkracht.

Het eerste voorbeeld voor ingewikkeldere situaties is toch redelijk simpel gehouden, en is het bekende "vossen en konijnen"-model uitleg of detail , staande voor de algemene situatie van twee diersoorten in interactie: een roofdier en een prooidier.

In een redelijk beperkte ruimte, zeg een duingebied, loopt een aantal konijnen en een aantal vossen rond, en de vossen eten konijnen voor hun exclusieve levensonderhoud. En als er genoeg konijnen zijn, krijgen de vossen veel jongen, die tezamen steeds meer konijnen gaan eten. Tot het punt bereikt is dat er een tekort ontstaat aan konijnen. Dan beginnen de vossen met uitsterven, en als er genoeg gestorven zijn, hebben de konijnen weer genoeg ruimte om nieuwe konijnen te kweken, enzovoort. Hier zijn de bijbehorende vergelijkingen, met de konijnen als \( x \) en de vossen als \( y \) :
\[ \begin{align*} { \partial x \over \partial t } ~ &= ~ a x ~ - ~ bxy \\ { \partial y \over \partial t } ~ &= ~ c y ~ - ~ dxy \end{align*} \]
Zonder de \( xy \) mengtermen staan er twee differentiaalvergelijkingen van de exponentiële groei, horende bij een onbeperkte voedselvoorraad - in het model wordt dit voor de konijnen ook inderdaad verondersteld (een goede benadering want dat voedsel is, zeg, duinbegroeiing en lang voordat die op is, hebben de vossen de konijnen als gedecimeerd).

In de uitwerking zijn de constanten wat anders gedefinieerd, om ze directer te laten aansluiten op het menselijke begrip. Nodig zijn de volgende constanten, tezamen met hun waarde gegeven in het model (dit model en computerprogramma komen van hier uitleg of detail ):
  Beginaantal konijnen 30000 konijnen_start
  Percentage nieuwgeboren konijnen  /jaar 0.20 konijnen_groei
  Beginaantal vossen 15 vossen_start
  Aantal gedode konijnen nodig voor geboorte vos 1000 vossen_behoefte
  Percentage natuurlijke dood van vos  /jaar 0.10 vossen_sterfte
  Kans dat konijn vos tegenkomt  /jaar 0.02 ontmoetingskans
  Kans dat vos het konijn doodt  /jaar 0.50 doodskans

Nu zijn de vergelijkingen nodig die laten zien hoe de aantallen veranderen. Daartoe wordt, voor de numerieke oplossingsmethode, de differentiaalvergelijking met zijn oneindig kleine verschillen weer teruggebracht op zijn wereldlijke pootjes door de verschillen eindig groot te maken. Wat in dit soort vergelijkingen gedaan wordt door simpelweg de tijd in stukjes te hakken, en voor de aantallen gedurende die stukjes tijd te veronderstellen dat ze constant zijn. Fout, natuurlijk, maar de clou is om de stukjes zodanig klein te kiezen dat de fout klein (genoeg) is.

In dit geval zijn de stukjes periodes van een kwart jaar. De standaardperiode van het model is 100 jaar.

Eerst bereken je de veranderingen per stukje:
  konijnen_toename = konijnen_groei * konijnen_aantal
  konijnen_afname = ontmoetingskans * doodskans * konijnen_aantal * vossen_aantal
  vossen_toename = konijnen_afname / vossen_behoefte
  vossen_afname = vossen_sterfte * vossen_aantal


En dan de nieuwe aantallen:
  konijnen_aantal_nieuw = konijnen_aantal_oud + konijnen_toename - konijnen_afname
  vossen_aantal_nieuw = vossen_aantal_oud + vossen_toename - vossen_afname


En doe dit voor alle stapjes tussen ingestelde begin- en eindtijd (deze reeks vergelijkingen tezamen is het equivalent van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking, maar dan voor eindige stapjes - het heet een "differentievergelijking")

Hier is het resultaat:


Het resultaat dat je zou verwachten: golfbewegingen.

En dit plaatje is niet een statische illustratie in de vorm van een jpg of gif, maar de directe weergave van de berekening uitgevoerd door het model. Voor hen die dit niet geloven of met het model willen spelen: er staat een interactieve versie hier .

Wat die interactieve versie ook laat zien dat de vorm van de golfbewegingen afhangt van de diverse parameters, de een sterker dan de andere. Op die manier is weer veel extra te leren van de dynamiek van het systeem. De numerieke behandeling is dus een vruchtbare methode voor verder onderzoek.


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home

 

5 jun.2015