WERELD & DENKEN
 
 

Formules, differentiaalvergelijkingen, oplossingen, deel 2

We hadden dus een probleem: Hoe beschrijf je de beweging van een gewicht aan een veertje?

We hadden een wiskundige beschrijving ervan, in de vorm van een differentiaalvergelijking:
\[ k x ~ = ~ m {\partial^2 x \over {\partial t}^2} \]
Die zegt: twee keer differentiëren levert (ongeveer) dezelfde functie op (we kijken niet op factoren ervoor).

We hadden een vereenvoudigde vorm gemaakt die zegt: één keer differentiëren levert (ongeveer) dezelfde functie op:
\[ y'(x) ~ = ~ c \, y(x) \]
En van dat laatste hadden we één oplossing: de exponentiële functie:
\[ e^x ~ = ~ 1 ~ + ~ {1 \over 1!} x ~ + ~ {1 \over 2!} x^2 ~ + ~ {1 \over 3!} x^3 ~ + ~ ... ~ = ~ \sum_{n = 1 }^{ \infty } {1 \over n!} x^{n} \]
En die zag er zo uit:

Waaraan we konden zien dat dit niet de goede oplossing is want we weten dat dat gewichtje op-en-neer gaat wiebelen en niet steeds harder (hoe steiler is hoe harder) één kant op.

Dus we moeten verder zoeken.

Als eerste gaan we constateren dat wat één enkele oplossing lijkt, er in feite oneindig veel is. Want het is bijzonder makkelijk te constateren dat als \(e^x\) een oplossing is, dat ook geldt voor \(2e^x\) enzovoort oftewel voor \(ae^x\).

Bovendien geldt dat ook voor \(e^{2x}\) enzovoort, als je maar geen belang hecht aan die constante ervoor. Die constante heet meestal "amplitude", en die bepaalt de beginhoogte - net zo als het beginkapitaal van de hypotheekfunctie mede de uitkomst bepaalt, maar alle tabellen toch alleen de rente opgeven, oftewel de exponent, want dat is waar het om gaat.

En, allerbelangrijkst: als je twee verschillende oplossingen hebt, zeg \(y\) en \(z\), dan is \(y + z\) ook een oplossing, net als \(y - z\) , \(y - 2z\) enzovoort, oftewel: \(ay +bz\). Deze belangrijke eigenschap heet "lineariteit" - van de vergelijking waarvan ze een oplossing zijn.

En omdat deze eigenschap hier geldt, kunnen we combinaties van niet-werkende oplossingen zoeken net zo lang tot we er eentje hebben die wel werkt.

Merk dus op dat we het punt waarop in de wiskunde de dingen vastliggen en we geen creatieve ruimte hebben, inmiddels gepasseerd zijn. Ook aan wiskunde komt (heel veel) creativiteit te pas. Je moet alleen (zo) veel vooraf weten ... (zucht).

De eerst poging, eentje uit nieuwsgierigheidsoverwegingen want je kan wel vermoeden dat het niet gaat werken maar het is toch soms nuttig om te zien hóe het niet werkt (let op: goed zoeken is ook een kunst), is om het teken van de \(x\) om te keren: \(e^{-x}\). Die grafiek ziet er zo uit:

Hm ... Zoals verwacht ...

Oh ja: het teken ervoor omkeren: \(-e^{x}\):

Oh, dan kunnen we misschien combineren: \(-e^{x}\) met \(e^{x}\). Maar dat kan iedereen zien: dat levert nul op. En, als je gaat proberen te werken met de factoren ervoor, kom je er ook niet uit. Want dat is een eigenschap van de exponentiële functie: als die niet heel erg op elkaar lijken, wint er altijd eentje en die ene wordt weer razendsnel oneindig groot.

Dus het volgende voorstel is:
\[ e^{x} ~ - ~ e^{-x} \]
Dit is een bekende functie ("sinus hyperbolicus" afgekort "sinh") met een bekende vorm:

Met enige vooruitgang want in ieder geval zit er nu de noodzakelijke symmetrie in - er is een duidelijk "midden" net als bij de trillende veer. Maar aan de uiteinden gaat het nog steeds mis want die worden weer razendsnel oneindig.

Tijd om de "joker" in te zetten, en de joker in dit soort kwesties is het "imaginaire getal". Dat getal heeft ook te maken met omkering, maar is een omkering in het verborgene. Hier is de definitie van het imaginaire getal:
\[ i ~ \equiv ~ \sqrt {-1} \]
En dus:
\[ i^2 ~ = ~ -1 \]
Hoewel je dat laatste natuurlijk ook mee kan beginnen.

Van toepassingen elders is bekend dat het gebruik van het imaginaire getal berekeningen en oplossingsmethoden simpeler kan maken - hoewel het invoeren ervan ingewikkelder lijkt. En omdat het verder een constante is, kan je het als ieder ander getal behandelen in berekeningen. Meer over het imaginaire getal hier .

Uit hoofde van ruimtebeslag zullen we verdere pogingen tot combineren van \(e\)-functies overslaan, en meteen de juiste combinatie nemen, die trouwens helemaal niet lastig te vinden is want hij lijkt sterk op de laatste poging. Dit is 'm:
\[ e^{ix} ~ - ~ e^{-ix} \]
Want kijk wat de grafiek daarvan is:

En daar is het wiebelgedrag van het gewichtje aan de veer.

En die functie is de bekende sinus-functie, als je er nog een factor \(1 / 2 \) voor zet.

Oftewel: we hadden een natuurkundige situatie, we hebben daarvoor een differentiaalvergelijking gevonden, en die differentiaalvergelijking blijkt een oplossing te hebben die vrij precies overeenkomt met de waargenomen natuurkundige situatie.

Waarna je met behulp van de oplossingen kan gaan voorspellen wat er gebeurt als je de veer stugger maakt, het gewicht groter, ze in olie stopt in plaats van lucht, enzovoort. Oftewel: wat in eerste instantie een redelijk abstracte exercitie lijkt, blijkt in de uitwerking van onschatbare waarde voor de ontwikkeling van de techniek.

De sociologie en de menswetenschappen in het algemeen staan zo'n beetje aan het absolute beginpunt van die ontwikkeling.

Nog wat ontwikkeling van toepassingen hier - ook voor menswetenschappers!


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

8 apr.2015