Formules, differentiaalvergelijkingen, toepassingen, deel 1

We hadden een natuurkundige situatie, we hebben daarvoor een differentiaalvergelijking gevonden, en die differentiaalvergelijking blijkt een oplossing te hebben die vrij precies overeenkomt met de waargenomen natuurkundige situatie.

Waarna je met behulp van de oplossingen kan gaan voorspellen wat er gebeurt als je de veer stugger maakt, het gewicht groter, ze in olie stopt in plaats van lucht, enzovoort. Oftewel: wat in eerste instantie een redelijk abstracte exercitie lijkt, blijkt in de uitwerking van onschatbare waarde voor de ontwikkeling van de techniek.

En zo werkt het soms in de natuurkunde. Maar zo helder omlijnd meestal achteraf. Als dit hele proces actief gaande is, is het een voortdurend aftasten en mistasten. En soms goed gaan.

Daarbij werkt men op zo veel mogelijk fronten, ook wiskundig gezien. Men probeert de toestand van het te onderzoeken systeem te beschrijven met functies als de plaatsfunctie bij gewicht-en-veer, en als men een deel van die toestand kent, probeert men daaruit af te leiden wat de meetbare gevolgen ervan zijn.

De algemene functie voor het beschrijven van een systeem heeft vele namen, waaronder, logisch, toestandsfunctie, en dit loopt in de uithoeken van natuurkunde uit op zoiets als een "wereldfunctie".

En zoals uit de toestandsfunctie van de veer, de \(x(t)\), bijvoorbeeld de snelheid afgeleid kan worden, kunnen uit de meer algemene toestandfuncties eigenschappen van dat systeem worden gevonden en bepaald.

De manier om de snelheid te vinden uit de plaatsfunctie was:
\[ v ~ = ~ {\partial x \over \partial t} \]
De algemene toestandfunctie wordt vaak aangeduid \( \Psi \) met of \( \chi \), en voor de parameter die je gaat veranderen houden we voorlopig even \(x\) vast, maar omdat het er natuurlijk bijna altijd veel zijn, voorzien van een index: \(x_i\) . En omdat we hier consequent aan het afkorten zijn, nemen voor "eigenschap" maar \(p\) (van property), waarvan er natuurlijk ook veel zijn, dus \(p_i\) . Dan wordt het meer algemene geval:
\[ p_{i} ~ = ~ {\partial \chi \over \partial x_{i}} \]
Dit ziet er een stuk ingewikkelder uit, maar is dus doodgewoon het algemene geval van de vorige formule, voor \( x \) en \( t \).

De andere kant op wil men ook vaak de verandering van de toestand van het systeem te weten komen als de parameters bekend zijn. Voor de \(x(t)\) was dat aanvankelijk simpel:
\[ \Delta x ~ = ~ v \times \Delta t \]
Maar dat werkt alleen voor constante snelheden. En die zijn dus meestal niet constant. Dan moet je de tijdsperiode in veel kleine stukjes hakken met een limiet net als bij het differentiëren - eerst de vele kleine stukjes (met een kleine delta (\ \delta\) voor "klein stukje"):
\[ \Delta x ~ = ~ \sum_{i} \delta x ~ = ~ v_i \, \delta t \]
Met de limiet:
\[ \Delta x ~ = ~ \lim_{\delta t \to 0} \sum_{i} \delta x ~ = ~ v_i \, \delta t \]
Maar in de limiet wordt de \( \delta \) gewoonlijk weer met \( \partial \) of \( d \) geschreven. En net als bij differentiëren kort men de combinatie van symbolen weer af, in dit geval met een gerekte "S":
\[ \Delta x ~ = ~ \int _{\Delta t}d x ~ = ~ v_t \, d t \]

Deze operatie heeft net als differentiëren ook een eigen naam, en heet "integreren" - het plakt stukjes weer aan elkaar.

Veralgemeniseer nu ook dit, dat wil zeggen naar:
\[ v ~ \to ~ p _{i} ~ = ~ {\partial \chi \over \partial x_{i}} \]
En neem dit allemaal tezamen:
\[ \Delta \chi ~ = ~ \int _{\Delta x_i }d \chi ~ = ~ \int _{\Delta x_i }{\partial \chi \over \partial x_{i}} \, d x_i \]

En alweer kan de gedachte ontstaan: Wat een ontzettende berg moeite die alleen maar lijkt op herschrijven. Maar zie hier een schermafdruk van een aflevering van het zeer populaire programma De Wereld Draait Door met als thema "Beroemde formules":

De formule is die van een beroemde econoom gaande over het effect van veranderingen in belastingen op de welvaart als geheel. En, betoogde de inbrenger/toelichter: hier staat dat belasting-heffen de welvaart vermindert.

Deze uitspraak kunnen we nu controleren.

Met deze mondelinge toelichting is meteen te raden wat diverse symbolen beteken: W is "wealth" (de beroemde econoom is natuurlijk Amerikaan) en T is "taxation". De \( \chi \) is de toestand van de economie of maatschappij als geheel (economen beschouwen dat als een en hetzelfde) - dit begrip, de toestand, geeft men meestal alleen een cijfer, in procenten als het even kan. En de index \( i \) laat zien dat er kennelijk meerdere soorten belasting zijn - wat kan zijn diverse schalen of echt diverse soorten zoals inkomstenbelasting en BTW.

Het effect van de eindige verandering van één soort belasting op de algemene toestand is dan volgens onze eigen laatste formule
\[ \Delta \chi ~ = ~  \int {\partial \chi \over \partial T_{i}} \, d T_i \]
Nu is "algemene toestand" wat erg algemeen, dus splits die op in verschillende deelaspecten, van de maatschappij, en neem die allemaal tezamen (sommeer die) voor de algemene toestand:
\[ \Delta \chi ~ = ~  \int \sum_{j}{\partial \chi_{j} \over \partial T_{i}} \, d T_i \]
Nu is "algemene toestand" ook wat weinig tastbaar - je krijgt uitkomsten als: de economie is 2,1 procent vooruit gegaan. Mensen zien het liefst bedragen. Dus zet de daadwerkelijke belastingopbrengst in euro's of dollars er bij - \( T_i\) dus:
\[ \Delta W ~ = ~  \int \sum_{j}T_{j}{\partial \chi_{j} \over \partial T_{i}} \, d T_i \]
En doe dit voor alle bekende vormen van belasting:
\[ \Delta W ~ = ~  \sum_{i}\int \sum_{j}T_{j}{\partial \chi_{j} \over \partial T_{i}} \, d T_i \]
En daar staat de o zo belangrijke formule van de o zo beroemde econoom.

Oh ja, nog dit: je moet beginnen te rekenen bij belasting nul en dan voortdurend de nieuwe stukjes erbij optellen tot je bent bij de huidige belasting:
\[ \Delta W ~ = ~  \sum_{i}\int_0^{T_i} \sum_{j}T_{j}{\partial \chi_{j} \over \partial T_{i}} \, d T_i \]
En waar staat deze formule dus voor? Die formule berekent de opbrengst van belasting bij een bepaalde toestand van de maatschappij. Die formule zegt dus helemaal niets, absoluut helemaal niets, over het effect van belasting op de totale welvaart. Want dat hangt dus helemaal af van de toestand van de maatschappij. En dat is iets waar deze formule niets over zegt.

De clou van het voorgaande is dat dit soort formules alleen afkortingen zijn van berekeningsmethoden als je nog niet weet wat de getallen precies zijn, maar er wel symbolen voor gaat gebruiken.

Dit zijn geen oplossingen van al dan niet differentiaalvergelijkingen voor een bepaalde situatie - zoals in deze reeks uitgevoerd voor de veer.

Dit is het paard achter de wagen spannen. Om wetenschappelijke sociologie of economie te kunnen bedrijven, moet je eerst doen wat natuurkundigen ook als eerste hebben gedaan: de regels vinden voor specifieke verschijnselen, zoals de specifieke regels voor de veer, door Hooke, en voor de kinematika, door Newton. Pas daarna kan je naar algemene formuleringen zoals die op het bord, in de natuurkunde geheten Lagrange- of Hamilton-formalismen. Overigens: beide wiskundigen.

Regels voor specifieke verschijnselen als:
\[ I_m ~ = ~ { \Delta C \over R_r } \]
Met \( I_m \)  zijnde de immigratiestroom, \( \Delta C \) zijnde het cultuurverschil, en \( R_r \) zijnde de reisweerstand.

En deze:
\[ O ~ = ~ k \, ( C_b ~ - ~ C_e ) { {N_e} \over {N_b } } \]
Met \( O \) zijnde de maatschappelijke onrust, \( C_b \) het niveau van de basiscultuur, \( C_e \) het niveau van de externe instroom, \( N_b \) het aantal individuen in de basiscultuur, \( N_e \) het aantal individuen van de instroom, en \( k \) diverse andere mogelijke factoren tezamen.

En voor het niveau van de cultuur kan men de economen-benadering hanteren:
\[ C ~ \approx ~ C_E ~ = ~ c \, { E \over N } \]
Met \( C \) het niveau van de cultuur/land, \( \approx \) "is ongeveer", \( E \) het bruto binnenlands product (bruto nationaal product), \( N \) het aantal inwoners, en \( c \) een factor ergens in de buurt van tussen 0,5 en 2. De bijpassende gegevens en uitkomsten (genaamd het bbp) staan hier uitleg of detail . Uit die uitkomsten kan je, tezamen met de benadering dat migratie niet veel veranderd aan de capaciteiten van mensen, en het aantal immigranten, per groep uitrekenen wat de (allochtone) immigratie Nederland kost uitleg of detail . Het loopt in de vele miljarden.

Waarmee onmiddellijk duidelijk is geworden waarom een wetenschappelijke sociologie er nu niet is, en de geboorte ervan een revolutie zal veroorzaken.
 
Dit voor zover de introductie van formules en nog wat meer wiskunde nodig om wetenschappelijke menswetenschappen te bedrijven. De daadwerkelijke uitwerking start hier .


Naar Evolutie , of site home . 


 

8 apr.2015









































kent