WERELD & DENKEN
 
 

Formules, functies

In Formules, grafieken  is gebleken dat belangrijke informatie gehaald kan worden uit het nemen van de afgeleide van gemeten resultaten. Om te bepalen waar eventuele maxima en "uit de hand loop"-punten liggen.

Het nemen van de afgeleide is een typisch wiskundige operatie, en wiskundigen proberen dat soort vragen en problemen op een zo algemeen mogelijke manier op te lossen. Die hebben het liever niet over plaats en tijd, of allochtone instroom en maatschappelijke onrust.

En om nog met grafieken te kunnen werken, gebruiken ze in plaats van verzamelingen aan metingen iets dat ze een "functie" noemen om een reeks punten op papier te zetten. Of stippen op een computerscherm. Daarop laten ze dan het probleem van differentiëren los, en als ze dat opgelost hebben is het dus geldig voor alle mogelijke specifieke gevallen.

Voor "het meest algemene geval waarvoor alles kan staan" gebruiken wiskundigen, als het om gegevens gaat, als eerste het symbool \( x \) . En zijn er meer van die gegevens, dan \( y \) enzovoort. Dus de simpelste algemene grafiek wordt getekend met een functie met \( x \) en \( y \), waarbij het gebruikelijk is om te nemen/zeggen: " \( y \) is een functie van \( x \) " . Oftewel: \( x \) bepaalt wat \( y \) is.

De simpelste manier van "bepalen" is de wensdroom van ieder individualistisch individu: de ander, \( y \) , moet hetzelfde zijn als de ik: \( x \) . In formulevorm:
\[ y ~ = ~ x \]
Nu weet iedereen die wel eens naar de maatschappij heeft gekeken dat dit slechts de gematigde variant is van het verschijnsel. Er zijn hele hordes die vinden dat de bijdrage van de ander nog veel meer dan gelijk moet zijn aan die van de ik. Die ander moet extra bijdragen. Bijvoorbeeld: niet één keer, maar twee keer. Hier is de bijbehorende functie:
\[ y ~ = ~ 2 \times x \]
En vaak wil men daar nog een vast bedrag extra aan toevoegen - tussen twee haakjes: als een variabele als \( x \) tijdelijk een vaste waarde heeft, dan noemt men die meestal \( a \) en \( b \) enzovoort.

Dus met die vaste bijdrage wordt de formule:
\[ y ~ = ~ a + ~ 2 \times x \]
Om begrijpelijke redenen wordt dit een lineair verband of een lineaire functie genoemd.

Uit het natuurkundige voorbeeld met plaats en tijd blijkt dat er ook niet-lineaire verbanden zijn - hier is die grafiek nog een keer:
De lijn door P en Q is een lineaire functie, maar de rode grafiek van de echte plaats versus tijd is dat niet. Die lijkt veel meer op de simpelste niet-lineaire functie, waarin je ook twee keer de \( x \) maar op een manier dat ze elkaar versterken - dat wil zeggen: de versterking is niet een vaste factor als bijvoorbeeld de eerdere 2, maar hangt zelf ook van \( x \) af. Of in het simpelste geval: die versterking is \( x \). De simpelste formule wordt dan dus:
\[ y ~ = ~ x \times x \]
En omdat dit een iets is dat veel vaker voorkomt, het meerdere malen een factor invoeren, heeft dit ook weer een speciale notatie: het aantal staat rechtsboven:
\[ y ~ = ~ x \times x ~ \equiv ~ x^2 \]
En:
\[ y ~ = ~ x \times x ~ \times x ~ \equiv ~ x^3 \]
Enzovoort.

En dit alles kan ook voorkomen in combinaties. Dus bijvoorbeeld van een lineair én een kwadratisch (factor: 2) verband:
\[ y ~ = ~ 2 \times x ~ + ~ x^2 \]
Of nog iets algemener:
\[ y ~ = ~ a \times x ~ + ~ 3 \times x^2 \]
Of op zijn alleralgemeenst tot aan en met de factor 2:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b \times x ~ + ~ c \times x^2 \]
En om de zaak qua lengte te bekorten, worden de "vermenigvuldig met"-tekens meestal weggelaten - dus staat er tussen twee symbolen niets, dan moet je die vermenigvuldigen:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 \]
Een functie die als voorbeeld dusdanig veel gebruikt wordt, dat hij bekend staat als "de abc-functie". Hetgeen waar hij een voorbeeld van is, de functie met alle mogelijke waardes van de factor, heet een "polynoom" of "veelterm" - de "termen" zijn alles zijnde dat gescheiden wordt door "+"-tekens.

Weer tijd om dit te laten bezinken. Daarna volgt er een tweesprong - in de ene tak gaat het verder met functies die afhankelijk zijn van meerdere variabelen . De andere gaat over één van de manieren om functies te analyseren: het differentiëren  .


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

8 apr.2015