WERELD & DENKEN
 
 

Formules, grafieken

In Formules, inleiding en Formules, verschillen  heeft de nadruk gelegen op woorden om de formules te verduidelijken. Omdat er uitgelegd moest worden aan alfa's en die nu veelal een voorkeur hebben voor woorden. Er zijn ook die liever beelden zien, en het equivalent van beelden in de wereld van de formules is "grafieken".

Grafieken willen ook wel als moeilijk worden gezien. In het studentenhuis van de redactie verdwaalde op een gegeven moment een rechtenstudent, die vol trots zijn  nieuwe boek liet zien dat toch echt wel een moeilijk studieboek was (het ging over economie), want er stond een grafiek in. Maar het was toch ook gewoon in hoge mate een keuze van de redactie om het zo te doen, want de startaanpak met grafieken kan ook heel best werken.

Die startaanpak begint met een grafiek van plaats tegen tijd van een of ander iets, zie de illustratie onder die dit keer ongeredigeerd van het internet komt uitleg of detail .

De lijn door P en Q is de lijn die de gemiddelde snelheid voorstelt - de breuk van \( \Delta x \) en \( \Delta t \) is de helling van die lijn. De helling van de grafiek in een bepaald punt is de momentane snelheid, de "echte" snelheid, op dat punt. De betreffende lijn is de raaklijn aan de grafiek (de lijn die maar op één punt door de grafiek gaat) op dat punt. Ook uitstekend zichtbaar is dat die helling het grootst is in Q, en ligt ruim boven die van het gemiddelde tussen P en Q. De hele grafiek zou overeen kunnen komen met een auto tijdens een(snelle) start.

Het verband met de formules is dus, als je de helling van de grafiek aanduidt met \( \alpha \) :
\[ \alpha ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta x \over \Delta t} ~ = ~ v_{x} \]
Overigens is het gebruikelijker om niet de \( \Delta x \) maar de \( \Delta t \) naar nul te laten gaan, zijnde de horizontale as, die men noemt de "onafhankelijk variabele", oftewel het ding dat je kan variëren als experimentator. Langs de verticale as staat dan de waarde van de zaak die je aan het meten bent, de afhankelijk variabele.

Merk op dat hier stiekem is uitgegaan van de bekendheid van alle plaatsen op alle tijden, want anders had die grafiek niet getekend kunnen worden. Die kennis kan natuurlijk alleen uit metingen komen, en dat moeten dus weer verschilmetingen zijn geweest.

Veel van het verband tussen formules en grafiek is dus een kwestie van volgorde. Maar al tijdens de opleiding als natuurkundige wordt je geleerd dat snel een grafiek maken je de mogelijkheid biedt om snel een voorlopig inzicht te krijgen in je resultaten. En daarbij zijn de meeste natuurkundigen minder enthousiast over het mooie geleidelijke soort grafiek als boven. Leuker vinden ze grafieken met een berg erin:

Die berg is een maximale waarde die een bepaald iets kan krijgen, en dat te weten is handig in een heleboel gevallen. Als je een mooie precieze grafiek hebt, kan je dat dan wiskundig doen aan de hand van de helling van de grafiek: die is in een maximum altijd nul. Dus wat men vaak doet, is van de hele grafiek de afgeleide nemen, en bepalen waar deze nul is.

Echt opgewonden worden natuurkundigen als ze een grafiek meten van deze vorm:

In de scherpe punt, in het Engels genaamd "cusp", bestaat er geen afgeleide - of je noemt hem oneindig wat op hetzelfde neerkomt. Dat is voor natuurkundigen het teken dat daar bijzondere dingen gebeuren, heel vaak een zogenaamde faseovergang - bekend van verschijnselen als dat water plotseling ijs wordt, en dergelijke. Dat betekent dus dat de materie, of wat het dan ook is wat je aan het meten bent, ineens in een heel andere toestand komt. Een snelle en abrupte overgang. Ook in de sociologie bekend, onder de noemer "revolutie".

Dat is dus ook iets dat je nader bestudeert door van de hele grafiek de afgeleide nemen. En in dit geval kijken waar deze heel groot wordt, want misschien zit daar, als je wat nauwkeuriger meet, wel een nog scherpere piek achter ...

De afgeleide nemen van een grafiek en daarvan een andere grafiek maken, oftewel: een andere functie, oftewel: een andere formule, is dus best een nuttige zaak. Dat is het volgende onderwerp .


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

8 apr.2015