WERELD & DENKEN
 
 

Formules, differentiëren

In Formules, functies  is een wiskundig analogon ontwikkeld van de sets meetwaardes waar natuurkundigen en later hopelijk ook sociologen mee gaan werken: de functies. Dit om de regels te kunnen afleiden voor belangrijke zaken te halen uit die meetwaardes: maxima, extreme punten enzovoort. Die regels zijn de regels van het differentiëren, die hier nu afgeleid gaan worden. En merk dus op: dit is de eerste keer dat er echt iets serieus afgeleid gaat worden - het voorgaande was weinig meer dan het langdurig maken van afspraken - en notatiekwesties.

Op dit punt valt trouwens iets merkwaardigs op te merken: voor gewone wiskundigen zijn afleidingen waar het om gaat. Echte talenten kijken er oppervlakkig naar en zeggen "Oh ja ...". De genieën schrijven in de kantlijn van hun manuscript: "Ik weet dat deze nieuwe wet geldt maar heb daarvoor hier nu even te weinig ruimte", waarna een paar honderd jaar later een zeer talentvolle wiskundige er honderd en vijftig pagina's voor nodig heeft om de wet af te leiden uitleg of detail . Iets dat vermoedelijk (veel) korter kan.

En wat is wat veel "toepassers" doen? Die slaan die afleiding gewoon over. Ze vertrouwen erop dat de wiskundigen hun werk goed hebben gedaan, en dat is ook zo want fouten ontdekken in het werk van een ander is een stuk makkelijker dat zelf nieuwe wetten afleiden. En iedereen wil graag iets kunnen schrijven in publicaties dat van belang is. Die afleidingen kloppen dus, en de "toepassers" kunnen overgaan naar de laatste alinea waar de uitkomst staat. Maar afleidingen als die van het differentiëren zijn ook een spelletje dat minstens net zo leuk kan zijn als een cryptogram of een sudoku. 't Is maar waar je van houdt.

We hadden dus meerdere voorbeelden van de hoogst algemene functie genaamd de "polynoom", met als eerste de lineaire functie, in zijn algemene vorm:
\[ y ~ = ~ a + ~ b x \]
En als tweede de kwadratische "abc"-functie:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 \]
Die gaan we nu differentiëren.

De "formule" voor differentiëren, dat wil zeggen: datgene waarvan wat "differentiëren" heet de afkorting is, luidde voor het natuurkundige geval, zie Formules, verschillen :
\[ v_{x} ~ = ~ {\partial x \over \partial t} ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta x \over \Delta t} \]
Dit moet dus eerste vertaald worden naar wiskunde - zie de regels daarvoor in Formules, functies  .
\[ z ~ = ~ {\partial y \over \partial x} \]
Waarbij hier een nieuwe functie \( z \)  is geïntroduceerd omdat na het differentiëren van \( y \) je een nieuwe functie krijgt.

Maar dat is niet hoe wiskundigen noteren. Die duiden de functie van de afgeleide van \( y \) aan met \( y ' \):
\[ y ' ~ = ~ {\partial y \over \partial x} \]
Of dus terug naar de basis:
\[ y ' ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} \]
Wat dus eigenlijk genoteerd moet worden met " \( \equiv \) " in plaats van de gebruikelijk " = " want dit zijn afspraken - en geen vergelijkingen.

Goed, dat was dus weer allemaal een kwestie van het aflopen van afspraken. De rest is nu invullen - hier gedaan één voor één:
\[ \Delta y  ~ = ~ y(x ~ + ~ \Delta x ) ~ - ~ y(x) \]
Met:
\[ y ~ = ~ a + ~ b x \]
Wordt dat:
\[ \Delta y ~ = ~ (a + b(x ~ + ~ \Delta x ) )~ - ~ (a + bx ) \]
En dit uitvoeren levert:
\[ \Delta y ~ = ~ b \Delta x \]
En dit invullen in:
\[ y' ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} \]
Levert:
\[ y' ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} {b \Delta x \over \Delta x} ~ = ~ \lim_{\Delta x \to 0} b ~ = ~ b\]
Waarbij die laatste stap "vanzelfsprekend" is want hoe je \( x \) ook verandert: \( b \) blijft \( b \) .

Dit is het "recept" - alle andere gevallen kunnen precies naar dit voorbeeld worden afgehandeld. de uitkomst voor:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 \]
Is:
\[ y' ~ = ~ b ~ + ~ 2 c x \]
En de uitkomst voor een enkele willekeurige term uit de polynoom:
\[ y ~ = ~  a_{n}x^{n} \]
Is:
\[ y' ~ = ~ a_{n}nx^{n - 1} \]
Oftewel: alle termen van de polynoom zijn één stapje omlaag gegaan in de exponent: een kubische functie (factor: 3) wordt een kwadratische, een kwadratische wordt een lineaire, een lineaire wordt een constate. Enzovoort.

Oftewel: wie tot hier is gekomen, weet wat formules zijn, weet wat functies zijn, en kan differentiëren. De volgende stap is de differentiaalvergelijking, de heilige graal bijvoorbeeld voor diegenen die zich bezighouden met de meest "exacte" gammawetenschap: de econometristen. Maar ze is ook heel belangrijk voor theoretisch natuurkundigen. Dus daarover als volgende .


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

8 apr.2015