WERELD & DENKEN
 
 

Formalisme: groei, natuurlijk

In de beschrijvingen van de dode natuur bleek haar lagenstructuur het gevolg van de manier waarop een beperkt aantal interacties leidde tot het ontstaan van een beperkt aantal deeltjes met een beperkt aantal eigenschappen. In de levende natuur, ontstaan daar waar die interacties van de dode natuur elkaar min-of-meer in evenwicht houden, zijn die interacties ingewikkelder. Maar ook daarin is systematiek te ontdekken, als je maar begint te "trekken" aan een uiteinde. Dat uiteinde aan de voorkant van de levende natuur is het proces van reproductie, of wat algemener: dat van groei.

Als eerste voorbeeld van natuurlijke groei wordt het simpele direct-waarneembare geval genomen: de groei van een "eencellige" - hier: een bacterie. En als verdere versimpeling controleren we de omgeving tot een voor bacteriën aangename met voedingstoffen in een petri-schaaltje. In dat schaaltje wordt een enkele bacterie gestopt. Die gaat zich in de voedzame omgeving vermenigvuldigen: 1, 2, 4, 8, 16, ... enzovoort. Aanvankelijk zie je daar niets van want bacteriën zijn niet met het blote oog waarneembaar - minuscuul blijft minuscuul. Aanvankelijk.

Maar de kracht van exponentiële groei is bekend genoeg. Hier het oude voorbeeld van het schaakbord en de rijstkorrels:
Groei schaakbord

Dus zo zien we op een gegeven moment met onze menselijke ogen die geen cellen kunnen waarnemen een snelle groei van een bacteriekolonie:

Dat gaat zo ijverig een tijdje door. Een voortdurend proces van omzetting van voedingsstoffen in bacteriën. En dan ineens, is het op. Want de voedingstof is op. En de bacteriën gaan collectief dood. Hier is de bijpassende curve:

In de meer abstracte termen van de "groeitheorie" heet dit "end of definition" - zo meteen meer over de theorie. In meer beschrijvende termen, gebruikt in zowel de omgangstaal als de wiskunde: een "catastrofe".

Dit dus wat betreft het meest simpele voorbeeld. Wat "niet goed" afloopt.

Dit moet gespeeld hebben bij alle voorgaande niveaus van het leven, tot aan de eerste moleculen. Een vermoeden daaromtrent is bijvoorbeeld dat de mitochondriën zittende in de cel, die nu de energiehuishouding regelen, vroeger zelfstandige celachtigen zijn geweest en door de huidige basiscel met dna als basis zijn "ingevangen". Aanwijzing: mitochondriën hebben hun eigen soort "dna" uitleg of detail .

De begintijd van het leven is dus vermoedelijk nogal stormachtig geweest, bij gebrek aan controlemechanismen bij het proces van de exponentiële groei om tot meer evenwichtige situaties te komen uitleg of detail . Hoe de natuur dit probleem heeft opgelost, ligt te zeer in de geschiedenis van de evolutie om erg duidelijk te zijn, maar in het vervolg zijn nog aspecten ervan terug te vinden.

Dat de natuur tot een oplossing is gekomen met een stabieler verlopend groeiproces is duidelijk aan het heden. Ook van dit evolutionair meer vooruitgeschreden groeiproces kiezen we een zo simpel mogelijk geval: de groei van een plant. Maar dan nog steeds de simpele versies: eentje die een simpele groei kent: omhoog. Hier is de grafiek van de groei van een bonenstaak:
Bonenstaak

Dat eerste deel zier er uit als verwacht: ook de groei van planten bestaat uit het vermenigvuldigen van haar cellen. Maar de grafiek maakt onmiddellijk duidelijk dat die snelle groei op een gegeven moment ophoudt, vervangen wordt door een gecontroleerde groei, om uiteindelijk uit te putten tot de bonenstaak een vaste lengte heeft.

Dit voorbeeld en deze grafiek komen uit voor zover bekend het eerste en enige boek dat het onderwerp groei op een algemene, zelfstandige en toegankelijke wijze behandelt: Little science, big science, door Derek de Solla Price uitleg of detail , stammende uit 1963. Dit boek gaat eigenlijk over de groei van de wetenschap en, zie de naam, de latere splitsing in klein- en grootschalige wetenschap (laboratoriumtafel versus 3 kilometer grote deeltjesversnellers).

Het voorbeeld van de groei van de bonenstaak heeft De Solla Price heeft overgenomen van een onderzoeker van groei bij levensvormen: D'Arcy Wentworth Thompson uitleg of detail . Dat dus laat zien dat de groei ten einde komt.

Hoe gaat dat stoppen van de groei nu? De grafiek leert er al iets over, want die ziet er nogal symmetrisch uit - hier precies dezelfde afbeelding maar dan horizontaal en verticaal gespiegeld:

Resultaat: vrijwel precies dezelfde kromme. Dus ook het uiteinde van de groeicurve heeft een exponentiële afhankelijkheid.

Die symmetrie was De Solla Price ook opgevallen, getuige de op de bonenstaak volgende illustratie in Little science, big science:
S-curve

Het tweede proces verloopt kennelijk ook exponentieel, maar dan qua remming. Hier is het proces dat daar achter zit: als bonenstaak langer wordt, wordt hij groter, én komt hij gemiddelde hoger te liggen. Dat wil zeggen: hij moet steeds meer water en voedingstoffer uit de grond oppompen naar steeds grotere hoogte. Dat gaat dus steeds minder goed. En het minder goed gaan gaat steeds sneller. Tot de groei uiteindelijk nog slechts enkele cellen is. Precies het omgekeerde van het begin van de groei, die ook heel langzaam gaat.

Hoe ziet die kromme er nu wiskundig uit? Opvallend is dat het eindresultaat een constante waarde is. Terwijl de curve exponentieel begint. De vraag luidt dus: hoe houdt je een exponentiële functie in de hand als het zo is dat de exponentiële functie de meest snel stijgende van allemaal is. Het antwoord: met een andere exponentiële  functie. En er bleek een specifieke oplossing te zijn, gevonden door wiskundige Pierre François Verhulst, die heet "logistic function" - in zijn simpelste vorm:

\[ y ~ = ~ { e^x \over { 1 ~ + ~ e^{x} } } \]
Met als bijpassende grafiek:

Of met de bijbehorende constantes die de vorm bepalen:
\[ y ~ = ~ a \, { e^{bx} \over { 1 ~ + ~ e^{bx} } } \]
Waarbij a de waarde van het eindevenwicht is, en b de helling of steilheid in het midden bepaalt.

De functie kan je als volgt lezen: de teller is de exponentiële curve die de basis is en het begin van de curve. De noemer is een andere exponentiële curve die de teller in de hand gaat houden, maar door die curve in de noemer te verschuiven met de "1 + ...", begint dit "in de hand houden" pas na enige tijd, lezende van links naar rechts in de grafiek.

De logistic function levert dus de groeicurve van de bonenstaak. Vanwege het belang ervan en naar de vorm wordt dit ook wel de S-curve genoemd.

De S-curve is de manier waarop vele natuurlijke processen verlopen, op alle mogelijke niveaus van de natuur. Omdat, nadat iets net mogelijk is geworden, dat vaak is in gevallen dat daarna dat proces zich zal herhalen op een vermenigvuldigende manier, maar omdat in de natuur, de werkelijkheid, alles beperkt is, zodat er ook een steeds sterker rem op die groei zal komen.

We hebben dus nu geïntroduceerd het geval van exponentiële groei en twee mogelijke uitkomsten: catastrofe en S-curve. De catastrofe is de uitkomst als de groei vrijelijk zijn gang kan gaan - de S-curve resulteert als het groeiende proces tegengewerkt wordt door een remmend proces dat van de groei afhangt. Oftewel: bij de stabiele groei van de S-curve is ook sprake van terugkoppeling - bij de catastrofe-groei niet.

De S-curve lijkt dé manier te zijn waarop in de natuur op geleidelijke, "evolutionaire", wijze verandering van de ene stabiele toestand naar de andere plaatsvindt. Oftewel: dit is het eindproduct van de evolutie van het proces van exponetiële groei.

Tussen begin- en eindproduct zitten natuurlijk tussenfasen, waarvan er een aantal ook bekend zijn. In de natuurkunde is het voorbeeld bekend bij het verschijnsel van de zogenaamde "faseovergangen": het smelten en stollen van water en andere vloeistoffen, koken, enzovoort. Bij het bevriezen van water, bijvoorbeeld, kan het tot minus vier graden duren voordat het water daadwerkelijk bevriest. En dan gaat het ineens razendsnel - sneller dan het bij nul graden gaat.

Ook dat is in feite een groeiproces: bij nul graden Celsius ontstaat er ergens in de vloeistof een stukje vaste stof, ijs, waaraan de andere watermoleculen zich dan hechten, zodat er steeds meer water verandert in ijs. Het ontstaan van het eerste stukje ijs gaat makkelijker als er ergens een kleine verontreiniging in het water zit, en zijn er weinig verontreinigingen, kan het even duren voor het proces van bevriezen start. En idem voor het koken van water: soms start het koken met een grote stoomstoot. Als getekend als groeiproces krijg je deze grafiek (niet uit Little science, big science):

Overschieten 1

Waarin de streeplijn staat voor het proces zonder remming dat naar het nieuwe evenwichtswaarde gaat (de stippellijn), en de doorgetrokken grafiek staat wat er gebeurt met vertraging door een remming. En iedereen "weet" wat er daarna gebeurt: doordat het daadwerkelijke proces nu een stuk sneller gaat, schiet over zijn normale eindpunt heen.

Wat er vervolgens gebeurt, behoort weer tot de "groeitheorie" zoals beschreven in Little science, big science. Hier volgen de diverse mogelijkheden in één illustratie, tezamen met de voorgaande:
Solla Price exp outcomes

Uitkomst (a) is die van opeenvolgende S-curves, de evenwichtige evolutie, uitkomst (b) de catastrofe, eerste nieuwe is het overschieten gevolgd door steeds erger overschieten, natuurlijk uiteindelijk ook gevolgd door een catastrofe van één of andere soort, en uitkomst (d) is van van overschieten gevolgd tot een steeds beter naderen tot het evenwicht.

Uitkomst (d) lijkt sterk op wat er gebeurt als je een gewicht hangende aan een veer een stoot geeft: het gewicht gaat op-en-neer oscilleren, maar uiteindelijk steeds zwakker tot hij weer stil hangt - een evenwicht van twee krachten plus wrijving uitleg of detail :

Als je er vanuit gaat dat de groei gestart is vanuit een situatie van evenwicht, wordt uitkomst (d) dus dit:

Waarbij het groeiproces dus staat voor de overgang tussen twee evenwichtssituaties. En de oscillatie veroorzaakt wordt door een aanvankelijke rem op het proces, waardoor het doorschiet nadat het eenmaal los is gekomen.

Het voorgaande gaat uit van een natuurkundige vorm van evenwicht. De wiskudiuge beschrijving van hoe een ocscillatie tot stand komt is voor wiskundigen heel simpel:
\[ y ~ = ~  e^{ix}  ~ + ~ e^{-ix}  \]

Met als grafiek:

De hoogte van de golven en hun breedte of frequnetie verander je met respectievelijk a en b erbij in de formule:
\[ y ~ = ~ a e^{ibx}  ~ + ~ a e^{-ibx}  \]

Bekend onder de namen sinus- of cosinus-functie, afhankelijk van waarmee je begint in de oorsprong (ter plaatse van de verticale as) - de getekende is een sinus, de formule is van een cosinus, het verschil is het vervangen van de "+" door een "-". De min-versie is wat inzichtelijker, want dan staat er: neem een exponentiele functie, en trek daar een andere exponentiële functie van af met een tegelijkertijd een omkering in welke kant hij opgaat ("x" wordt "-x"). En dan krijg oscillaties. Zoals in de onderste twee groeigrafieken.

Van de soort bijna permanente oscillaties (de echt perrmanente bestaan alleen in de wiskunde) bestaan er ook voorbeelden in de levende natuur. Vermoedelijk het bekendst is dat van de vossen en konijnen uitleg of detail : in een redelijk begrensde ruimte, zeg een duingebied, loopt een aantal konijnen rond. Laat de konijnen hun gang gaan, en op een gegeven moment hebben ze het hele gebied overbevolkt en alle duingroei opgegeten, en sterven ze massaal af. Het uitsterf-geval. Introduceer nu een aantal vossen, waarbij de vossen konijnen voor hun exclusieve levensonderhoud hebben. Als er genoeg konijnen zijn, krijgen de vossen veel jongen, die tezamen steeds meer konijnen gaan eten. Tot het punt bereikt is dat er een tekort ontstaat aan konijnen. Dan beginnen de vossen met uitsterven, en als er genoeg gestorven zijn, hebben de konijnen weer genoeg ruimte om nieuwe konijnen te kweken, enzovoort. Oftewel: twee gevallen van exponentiële groei die tegen elkaar ingaan. Als je het wiskundig gaat uitrekenen iets opleverende als dit:

Als het echt tot deze factoren beperkt was, zou het in het natuurlijke geval vermoedelijk ook geen evenwicht bereiken. Maar bekend is dat op subtiele manieren zowel vossen hun nakomelingenschap kunnen aanpassen aan de hoeveelheid voedsel en konijnen aan dat van de hoeveelheid predatie. De mate waarin de natuur daarin geëvolueerd is, bepaalt mede of er een evenwicht ontstaat. Maar vermoedelijk is daar in dit geval nog een externe factor bij nodig, equivalent aan de wrijving in het geval van mechanische oscillatie.

In de natuurlijke werkelijkheid zijn er dus altijd die andere invloeden, zoals andere diersoorten, en zie je dus alleen combinaties van processen. Met in bijzondere gevallen, meestal veroorzaakt door een snelle externe verstoring, een spoor van de meer fundamentele achterliggende processen, zoals dus de tijdelijke oscillaties ten tijde van exponentiële groei.

Hoe de exponentiële groei te rijmen valt met het verder toch voornamelijk voorkomen van min-of-meer stabiele situaties gaat het verder over hier  .


Naar Inleiding, model , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

 jul.2015