WERELD & DENKEN
 
 

Formules, differentiaalvergelijkingen, oplossingen

Het hebben van een differentiaalvergelijking voor het beschrijven van een situatie is van grote waarde. Ten eerste is een differentiaalvergelijking per definitie een vergelijking die situaties beschrijft vanuit verschillen en veranderingen, zodat eventuele absolute waarden en begrippen, die bijna altijd fout zijn, er automatisch uit verdwijnen.

Ten tweede kunnen als de toestand op een bepaald moment bekend is, aan de hand van de vergelijking voorspellingen gedaan worden over toekomstige toestanden.

Maar daarvoor moeten die vergelijkingen wel eerst opgelost worden. En dat blijkt niet simpel te zijn. Maar er gaat hier toch een poging gedaan worden om een paar oplossingen aannemelijk te maken. Echt oplossen kan niet in deze context.

Dit gaat uit van de "polynoom", de algemene functie van de combinatie van machtsfuncties die we kennen tot en met de macht van twee:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 \]
Wat we nog met twee termen zullen uitbreiden:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 ~ + ~ d x^3 ~ + ~ e x^4 ~ + ~ ... \]
Waarbij de puntjes aan het einde staan voor alle andere mogelijke termen. In principe: een oneindig aantal.

Nu gaan we die functie differentiëren - volgens het recept gegeven in . De uitkomst:
\[ y ~ = ~ b ~ + ~ 2 c x ~ + ~ 3 d x^2 ~ + ~ 4 e x^3 ~ + ~ ... \]
Maar er is een oneindig resterend aantal van al die termen, dus de hier nu ontbrekend lijkende vierde macht wordt ook aangevuld:
\[ y ~ = ~ b ~ + ~ 2c x ~ + ~ 3d x^2 ~ + ~ 4e x^3 ~ + ~ 5f x^4 ~ + ~ ... \]
Kortom: als de oorspronkelijke reeks oneindig is, verandert er aan de structuur van de functie niets, maar veranderen wel alle factoren - die schuiven één plaats op naar links - er komen die factoren in de exponent bij.

Wat we hadden als praktische differentiaalvergelijking maakte de functie gelijk, op een factor na, na twee keer differentiëren.

Vereenvoudig dit nu eerste door de eis te stellen dat na één keer differentiëren de functie niet verandert (dan gaat het na twee keer ook automatisch goed). Dan zit je nu nog met het probleem van die veranderende factoren.

Beide problemen worden opgelost door één enkele handige keuze voor de factoren. Je moet in die factoren van de oorspronkelijke functie ook al alle factoren stoppen, tot aan dat punt van die factor, maar dan in de noemer, zodat die extra factor in de teller wegvalt. Die combinatie van alle mogelijke voorgaande factoren heet de "faculteitsfunctie":
\[ 1! ~ = ~ 1 \]
\[ 2! ~ = ~ 1 \times 2 \]
\[ 3! ~ = ~ 1 \times 2 \times 3 \]
\[ n! ~ = ~ 1 \times 2 \times 3 \times ~ ... ~ \times (n-1) \times n \]
Stop dit in de reeks, in de noemer:
\[ y ~ = ~ 1 ~ + ~ {1 \over 1!} x ~ + ~ {1 \over 2!} x^2 ~ + ~ {1 \over 3!} x^3 ~ + ~ {1 \over 4!} x^4 ~ + ~ ... \]
En ga nu opnieuw differentiëren:
\[ y ~ = ~ {1 \over 1!} ~ + ~ {2 \over 2!} x ~ + ~ {3 \over 3!} x^2 ~ + ~ {4 \over 4!} x^3 ~ + ~ ... \]
Maar neem nu bijvoorbeeld die nieuwe term bij \( x^3 \):
\[ 4 \over 4! \]
En schrijf deze uit:
\[ 4 \over {1 \times 2 \times 3 \times 4} \]
Elementair rekenwerk levert:
\[ {4 \over {1 \times 2 \times 3 \times 4}} ~ = ~ { 1 \over {1 \times 2 \times 3 }} ~ = ~ {1 \over 3! } \]
Doe dit voor alle termen van de gedifferentieerde functie:
\[ y ~ = ~ {1 \over 1!} ~ + ~ {1 \over 1!} x ~ + ~ {1 \over 2!} x^2 ~ + ~ {1 \over 3!} x^3 ~ + ~ ... \]
En hoera, daar is de oorspronkelijke functie weer. En nee, er is geen term weg, want er was een oneindig aantal termen en zelfs als er oneindig aantal wegvallen, houdt je er nog een oneindig aantal over. Dat is namelijk de definitie van "oneindig".

Wiskundigen hebben deze functie allang herkend als de "natuurlijke exponentiële functie" - tezamen met zijn afkorting:
\[1 ~+ ~ {1 \over 1!} x ~ + ~ {1 \over 2!} x^2 ~ + ~ {1 \over 3!} x^3 ~ + ~ ... ~ = ~ \sum_{n = 1 }^{ \infty } {1 \over n!} x^{n} ~ \equiv ~  e^x \]
Het getal \( e \) dat de basis vormt, heeft de volgende waarde (vul maar gewoon in  \( x=1 \) , maar er zijn ook andere manieren):
\[ e ~ = ~ 2.718281828 ... \]
Een getal met ongeveer dezelfde positie en betekenis als pi.

"Gewone mensen" kennen de exponentiële functie ook, in zijn menselijke gedaante als die van de samengestelde interest: ieder jaar vijf procent rente betalen op je hypotheek van een ton levert na vijf jaar een schuld op van 100.000 maal 1,05 maal 1,05 maal 1,05 maal 1,05 maal 1,05 , oftewel:
\[ totale ~ schuld  = 100.000 \times (1,05)^5 \]
En voor een willekeurige beginschuld \(s_0\) en een willekeurig aantal jaren \(x\):
\[ s  = s_0 (1,05)^x \]
Een exponentiële functie. Meer over de expenetiële functie in de menselijke wereld  hier .

Die exponentiële functie is dus een uiterst belangrijke functie en de oplossing van het probleem van: "Na éénmaal differentiëren wil ik dezelfde functie terug".

Maar aan zijn (ook bekende) grafiek te zien ...:

... is het duidelijk dat ze niet de oplossing is van de differentiaalvergelijking van het trillende gewicht-aan-veer, want die blijft keurig tussen twee maxima heen-en-weer gaan, en neemt niet grenzeloos toe zoals de exponentiële functie dat doet.

Maar daarvoor geeft de exponentiële functie wel de oplossingsrichting, waarmee verder hier  .


Naar Evolutie , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

8 apr.2015