WERELD & DENKEN
 
 

Normale of Gaussiaanse verdeling

In Generalisties, menselijk kwam naar voren dat indien komende op de ladder der structuren bij de meer omvangrijke zaken, in de natuurkunde aangeduid als "macroscopisch" oftewel "je kan ze zien", de bijna absoluutheid van categorieën als "atoom", "molecuul" enzovoort verdwijnt en er steeds vagere grenzen ontstaan. Iets dat in de dagelijkse ervaring al bekend is in de vorm dat de meeste, zo niet alle, menselijke eigenschappen in variërende mate voorkomen, en even bekend is de manier waarop dat gebeurt: de meeste mensen zitten rond het gemiddelde, en naarmate je verder van het gemiddelde afzit, zijn er minder mensen met die eigenschap: mensen van 1,75 meter zijn heel gewoon, en die van 1,20 of 2,20 meter zijn zeldzaam, met allerlei variaties daartussen. Mede vanwege het vele voorkomen ervan noemt men dit de "normale verdeling".

De wiskunde van de normale verdeling is ontdekt via wat achteraf de "discrete benadering" kan worden genoemd: de normale verdeling is een continu verschijnsel met het probleem: waar trek je de grenzen? Tegenwoordig, in het tijdperk van de computers en de snelle berekeningen, hakt men dergelijke problemen bij voorkeur is stukjes met constante waarden omdat dat makkelijk rekenen is, en benadert het continue geval door de stukjes steeds kleiner te maken.

 In het geval van de normale verdeling gebeurt dat automatisch als gebruik maakt van "experimenten" die vaste uitkomsten leveren zoals het Galton board of het gooien van dobbelstenen. Want vaste uitkomsten per worp: 1 tot en met 6 voor één dobbelsteen, 2 tot en met 12 voor twee, enzovoort. En iedereen weet al: met twee dobbelstenen zijn 2 en 12 zeldzaam, en 5, 6, en 7 veel gewoner. En het gemiddelde wordt belangrijker naarmate je meer stenen neemt en de verdeling ligt bij vier stenen wel redelijk duidelijk vast - voor een tussenfase zie de grafiek rechts.

 De uiteindelijke continue verdeling, ook bekend onder de naam van de ontdekker Gauss  , en verkregen door steeds meer stenen te nemen en te delen door het maximum, of met het Galton board: steeds kleinere vakjes en steeds meer steeds kleinere knikkers, is weergeven rechts, tevens "genormaliseerd" door te delen door het gemiddelde. Weerspiegelende het probleem "Bij zo'n verdeling, waar leg je de grenzen?" Een probleem dat in de realiteit voortdurend op naargeestige wijze terugkeert bij bijvoorbeeld schoolcijfers: bij welke totaalscore leg je de grens, en wat als iemand vlak bij, meestal gaande over "onder", die grens zit?

Er is dus een behoefte aan min-of-meer objectiveerbare grenzen, en die wordt verschaft door de wiskunde. Met als basis "gezond verstand".

Dat laatste kan men halen uit de genoemde schoolcijfers. Waar het in eerste instantie om gaat, zijn de gemiddeldes: gemiddelde van alle leerlingen een 7? Dan "goede leerlingen", "goede leraren","goede school". Of in diverse combinaties. De wiskundige notatie voor de berekening van het gemiddelde is (voor uitleg van die notatie, zie hier ):
\[ \overline {x} ~ = ~ { { \sum_i x_i } \over { N } } \]
Maar dat gemiddelde van 7 kan op oneindige veel manieren tot stand komen. Iedere leerling een 7, is uiterst onwaarschijnlijk, weet iedereen. Volgende mogelijkheid: de helft een 6 en de helft een 8. Hoe druk je dit verschil uit?

De methode is als volgt: trek van ieder cijfer het gemiddelde af (7), dat is de individuele afwijking. Tel dit bij elkaar op en deel door het aantal leerlingen. Uitkomst in het eerste geval: 0. Zoals je wilt. Uitkomst in het tweede geval: ook 0. Vervelend.

Die tweede nul komt door deze optelling, als het over tien leerlingen met 6 en 8 gaat: -1 - 1 - 1 - 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0. Kortom: die minnen moeten weg. Zonder die minnen is de afwijking na delen door het aantal: 1. Precies wat het gezonde verstand zegt: ze wijken allemaal 1 van het gemiddelde af.

De wiskundige methode voor het verwijderen van de minnen is eerst kwadrateren en dan wortel trekken:
\[ -5 ~ \rightarrow ~ \sqrt { (-5)^2 } ~ = ~ \sqrt {25} ~ = ~ 5 \]
De totale afwijking voor alle leerlingen uit een klas:
\[ \sum_i \, (\sqrt { (x_i)^2 } ~ - ~ \overline {x} ) \]
Oftewel: de gewogen afwkijng (die per leerling) is:
\[ { \sum_i \, (\sqrt { (x_i)^2 } ~ - ~ \overline {x} ) } \over { N } \]
Wat heet de standaarddeviatie \( \sigma \) en hergeschreven kan worden als:
\[ \sigma ~ = ~ { { \sum_i \sqrt { (x_i ~ - ~ \overline {x})^2 } } \over { N } } \]
 Deze berekening kan je loslaten op een verzameling scores die willekeurig verdeeld zijn, dat wil zeggen: die tezamen een Gaussverdeling vormen. Dat levert dus een gemiddelde afwijking van het gemiddelde. Oftewel: wie daaronder valt wijkt minder dan gemiddeld af - en daarboven dus meer. Dus dat is een maatstaf voor hoe ver een score van het gemiddelde afwijkt. Een formulering die intuïtief klopt. Met een uitkomst die intuïtief klopt, zie de grafiek rechts waarin de verdeling zodanig is dat het gemiddelde 0 is, en de scores aangeven hoeveel ze van het gemiddelde afwijken. De uitkomst: circa tweederde van alle gevallen ligt tussen de twee punten die één maal de standaarddeviatie van het gemiddelde afliggen, het licht rode gebied in de grafiek, en circa 95 procent van alle gevallen ligt tussen de punten die meer twee maal de standaarddeviatie van het gemiddelde afliggen, wat betekent dat slechts circa 5 procent erbuiten ligt, het rode deel van de grafiek.

Dit heeft directe praktische toepassing voor bijvoorbeeld de schoenenfabrikant. Welke maten moet de fabrikant in zijn assortiment hebben om zo veel mogelijk klanten te bedienen, zonder te veel geld kwijt te zijn aan de extreme gevallen waarvan hij heel weinig verkoopt. Dit wordt volledig bepaald door de standaarddeviatie. Wil hij 95 procent van alle mensen bedienen, dan moet hij de gemiddelde maat nemen, en twee standaarddeviaties daarboven en daarbeneden maken. En voor andere percentages valt dat allemaal precies te berekenen.

Conclusie: ook voor volkomen willekeurige verdelingen vallen grenzen af te spreken. Dus ook bij volkomen willekeurige verdeling kunnen er generalisaties worden gemaakt - zeg de groep van alle normale gevallen (deviatie kleiner dan 1 standaarddeviatie), de uitzonderlijke gevallen (deviatie tussen 1 en 2 standaarddeviatie), en de afwijkende gevallen (deviatie groter dan 2). De eerste twee kan je structureel afhandelen - bijvoorbeeld door een indeling in vmbo, mbo, hbo en universiteit - of de "confectiematen" in de winkel. De tweede groep kan je alleen op individuele basis afhandelen: het speciale onderwijs - of de gevallen voor de schoenmaker-vakman.

De genoemde praktische voorbeelden laten zien dat zelfs voor volkomen willekeurige verdeling, de wensen en noodzaken van de maatschappelijke praktijk al tot eindeloos veel generalisaties hebben geleid. En dat generalisaties de kern vormen van het inrichten van een maatschappij. Waarbij voor de volkomen willekeurige verdeling gewoon rekening gehouden wordt met de vaagheid van de grenzen ervan. Een proces dat door heel veel politici en beleidsmakers verkeerd gehanteerd wordt Info politiek .

Maar het bovenstaande is het meest willekeurige geval. Er zijn zeer veel maatschappelijke zaken die van meerdere parameters afhangen. De vraag is dan: hangen die samen of niet? Als ze samenhangen, wordt de verdeling scherper, zie het volgende onderwerp: combinaties  .


Naar Inleiding, model , Wetenschap lijst , Wetenschap overzicht , of site home


 

6 jul.2015








Voorbeelden van foute behandeling zijn veelal vanwege het feit dat afwijkende gevallen duur zijn, bijvoorbeeld in de vorm van scholen voor speciaal onderwijs en inrichtingen voor psychisch gestoorden. Politici met foute bedoelingen maken gebruik van de vaagheid van de grenzen door kinderen alleen geschikt voor speciaal onderwijs op normale scholen te stoppen, met een algemene achteruitgang van het onderwijs tot gevolg, en psychiatrische patiënten in woonwijken te stoppen, met overbelasting van de wijken en de politie, en branden, gasexplosies, zelfmoorden tot gevolg uitleg of detail .